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La metà del cono

Valutare la metà di qualcosa non è sempre facile come sembra. Per esempio, immagina di avere un bel bicchiere a forma di cono, pieno fino all’orlo di bibita fresca. Vuoi fare a metà con una tua amica. Come farete a capire a quale livello si trova la metà del liquido?

Se aveste un’altro bicchiere uguale al primo, la missione sarebbe davvero facile: basta infatti travasare del liquido fino a quando i livelli nei due bicchieri sono uguali.

Ma in questo caso non avete un altro bicchiere!

Competenze e obiettivi relativi alle attività proposte

Dalle Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola dell’infanzia e del primo ciclo d’istruzione del 4 settembre 2012.

  • L’alunno esplora e sperimenta, in laboratorio e all’aperto, lo svolgersi dei più comuni fenomeni, ne immagina e ne verifica le cause; ricerca soluzioni ai problemi, utilizzando le conoscenze acquisite.
  • Sviluppa semplici schematizzazioni e modellizzazioni di fatti e fenomeni ricorrendo, quando è il caso, a misure appropriate e a semplici formalizzazioni.
  • Ha curiosità e interesse verso i principali problemi legati all’uso della scienza nel campo dello sviluppo scientifico e tecnologico.

Per la scuola secondaria di primo grado.

  • Utilizzare i concetti fisici fondamentali quali: pressione, volume, velocità, peso, peso specifico, forza, …, in varie situazioni di esperienza; in alcuni casi raccogliere dati su variabili rilevanti di differenti fenomeni, trovarne relazioni quantitative ed esprimerle con rappresentazioni formali di tipo diverso.
  • Realizzare esperienze quali ad esempio: piano inclinato, galleggiamento, vasi comunicanti, riscaldamento dell’acqua, fusione del ghiaccio, costruzione di un circuito pila-interruttore-lampadina.

Che cosa vi serve

  • Alcuni bicchieri conici e cilindrici.
  • Acqua.
  • Una brocca.
  • Un righello lungo circa 15 cm.
  • Un sistegno per il righello (per esempio una molletta per il bucato).
  • Colorante alimentare (facoltativo).

Cominciamo con un cilindro

Per capire le stranezze del bicchiere conico, conviene dapprima esaminare il caso del bicchiere cilindrico.

Come si fa la metà di un bicchiere cilindrico?

Facile, basta riempirlo fino metà altezza.

 

Il bicchiere è un "quasi" cilindro alto 77 mm. E' pieno a metà quando il livello dell'acqua raggiunge l'altezza di 38,5 mm.

E se non abbiamo il righello?

Basta inclinare il bicchiere e verificare che il livello del liquido formi una diagonale come illustrato nella seguente fotografia.

Il bicchiere cilindrico è pieno a metà.

Passiamo al cono

Per il bicchiere conico le cose sono un po’ più complicate. Facciamo qualche prova…

1. Appoggiate un bicchiere conico sul tavolo orizzontale.

2. Fissate il righello a fianco del bicchiere in modo da poter misurare il livello del liquido.

3. Riempite la brocca d’acqua e aggiungete un po’ di colorante alimentare. La colorazione è facoltativa.

4. Iniziate a versare acqua nel bicchiere, fermandovi quando il livello arriva a metà dell’altezza del bicchiere stesso.

Nel nostro caso, il bicchiere è alto circa 15 cm. La metà è 7,5 cm.

Il bicchiere riempito fino a metà altezza contiene soltanto 1/8 della sua capacità..

Siete arrivati alla metà dell’altezza del bicchiere ma NON alla metà della sua capacità!

  • Quale frazione del volume avete riempito?

5. Continuate ad aggiungere acqua fino a raggiungere gli 8/10 dell’altezza del bicchiere.

Ecco, ora il bicchiere è pieno a metà.

A vederlo, sembra strano, ma è così!

Continuate a versare acqua…

… fino a raggiungere circa gli 8/10 dell'altezza.

  • Come si può verificarlo?

In due modi: con una prova sperimentale e con un calcolo matematico.

Verifica sperimentale

Vi serve un altro bicchiere, uguale a quello che avete appena usato.

6. Riempite il secondo bicchiere esattamente come il primo.

7. Versate il contenuto del secondo bicchiere nel primo bicchiere.

Il primo bicchiere risulterà pieno fino all’orlo!

Aritmetica del cono.

Verifica matematica

In geometria si studia che: se due solidi sono simili, allora il rapporto fra i loro volumi è uguale al cubo del rapporto fra due qualsiasi loro dimensioni corrispondenti.

Per esempio se un cubo ha il lato 2 volte più grande di quello di un altro cubo, allora il volume del primo cubo è 2³ = 8 volte più grande del volume del secondo.

Se invece il primo cubo ha le misure 3 volte più piccole di quelle del secondo allora il rapporto fra i loro volumi è (1/3)³ = 1/27. Cioè il volume del secondo cubo è 27 volte più piccolo di quello del primo.

La stessa cosa accade con i coni simili.

  • Se riempiamo un bicchiere conico fino a metà (1/2) altezza, il volume del liquido è:
    (1/2)³ = 1/8 della capacità del bicchiere.
  • Se invece vogliamo riempire il bicchiere per metà della sua capacità, il livello del liquido deve arrivare a:
    h : ³√2 = h : 1,26. (h è l’altezza del cono)
  • Nel nostro esempio, il bicchiere è alto 15 cm, perciò il livello che corrisponde alla metà della sua capacità è:
    15 : 1,26 = 11,9 cm

In conclusione, un bicchiere conico è pieno a metà quando il livello raggiunge l’80% circa dell’altezza del bicchiere stesso.

Infatti 1/1,26 = 0,79365… ≈ 80%

 

11,9 cm sono circa l'80% di 15 cm.

Due piccole sfide

1) La metà di una strana bottiglia

Avete una bottiglia dalla forma assolutamente irregolare, come quella che vedete nella foto qui sotto.

  • Inventate un metodo per riempirla esattamente a metà.

Ricordate che avete a disposizione soltanto:

  • acqua a volontà;
  • un imbuto;
  • un pennarello con il quale potete tracciare dei segni sulla bottiglia.

Non potete usare nessuno strumento di misura (recipienti graduati, bilance etc.)

 

Una strana bottiglia a forma di mezzaluna.

 

 2) Uno scherzo di Feynman

Si racconta che il grande fisico americano Richard Phillips Feynman servisse a volte le bibite ai suoi amici in un bicchiere capovolto, come illustrato nella foto qui sotto.

  • Come si può fare per ottenere questo risultato?
  • Come fareste per recuperare la bibita senza rovesciarla?

Bibite alla menta alla maniera di Feynman.

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