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Bicchieri rotolanti

Quattro bicchieri di plastica che rotolano su un binario ci insegnano il meccanismo della retroazione e l’equilibrio dei sistemi dinamici.

Che cosa vi serve?

  • Quattro o più bicchierini da caffè monouso di plastica
  • Colla a presa rapida (noi abbiamo usato la colla bi-componente)
  • Stecchini per mescolare e applicare la colla
  • Due listelli di legno lunghi circa 1 m
  • Alcuni libri o blocchetti di legno

Figura 1. Il materiale indispensabile per gli esperimenti.

 Preparate il necessario…

1. Incollate due bicchieri per la parte più larga, cioè la bocca (vedi fig. 2). I due bicchieri incollati formano un rullo convesso costituito da due tronchi di cono uniti per la base più grande.

Figura 2. Incollaggio del primo tipo: rullo bi-conico convesso.

2. Incollate altri due bicchieri per la parte più stretta, cioè il fondo (vedi fig. 3). I due bicchieri incollati formano un rullo concavo costituito da due tronchi di cono uniti per la base più piccola.

Figura 3. Incollaggio del secondo tipo: rullo bi-conico concavo.

3. Usate i due listelli di legno per costruire un binario in leggera discesa. La distanza fra i listelli paralleli dovrebbe essere all’incirca uguale all’altezza di un bicchiere. Per creare il dislivello, usate alcuni libri o blocchetti di legno (vedi fig. 4). Il sistema è pronto!

Figura 4. Il sistema pronto per i vostri esperimenti.

Le prime prove e ossevazioni da fare

  1. Fate rotolare il rullo convesso lungo il binario in discesa.
  2. Provate a posizionare il rullo convesso, alla partenza, in modo da farlo andare fuori pista e lasciatelo andare. Che cosa osservate?
  3. Fate rotolare il rullo concavo lungo il binario in discesa. Vedrete che esso esce sempre dal binario prima di arrivare in fondo.
  4. Cercate di posizionare il rullo concavo, alla partenza, dirigendolo con cura per NON farlo andare fuori pista e lasciatelo andare. Che cosa osservate?

Si osserva che (vedi filmato 1):

  • il rullo convesso riesce a correggere automaticamente la propria direzione in modo da NON uscire dai binari.
  • il rullo concavo, invece tende ad amplificare gli errori di direzione, anche minimi, ed esce sempre dai binari.


Filmato 1. Diverso comportamento dei due rulli rotolanti su un binario in discesa.

 Come si spiega?

Prima di procedere, definiamo alcuni termini che ci saranno utili fra poco.

  • I bicchieri rotolanti e il binario formano un sistema dinamico, cioè un sistema in cui qualcosa cambia con il trascorrere del tempo.
  • La retroazione o retroregolazione (feedback in inglese) è la capacità di un sistema dinamico di tenere conto dei risultati del sistema per modificare le caratteristiche del sistema stesso. La retroazione può essere positiva o negativa.
  • La retroazione positiva amplifica le deviazioni del sistema dal suo stato, per cui esso tende a diventare instabile.
  • La retroazione negativa o controreazione contrasta le deviazioni e stabilizza il sistema, opponendosi ai cambiamenti. Un sistema con retroazione negativa tende a diventare stabile.

 Bicchieri conici rotolanti

Posate un bicchierino conico su piano e fatelo rotolare, spingendolo delicatamente con un soffio.
Esso curva dalla parte della base più piccola.
Per la precisione, descrive una traiettoria circolare.

Figura 5. Rotolamento dei bicchieri conici.

 Retroazione negativa

Immaginiamo di far rotolare il rullo bi-conico convesso su un binario (vedi fig. 6).

  • Finché esso rotola appoggiato su due punti simmetrici rispetto al centro, A e A’, procede diritto. Infatti le due ruote ideali rotolanti hanno lo stesso diametro.
  • Supponiamo ora che si verifichi una piccola deviazione accidentale, per esempio verso sinistra. In tal caso i punti di appoggio si spostano rispettivamente da A a B e da A’ a B’.
  • In questo modo la ruota di sinistra diventa un po’ più grande della ruota di destra. Perciò il rullo tenderà a deviare verso destra.
  • In conclusione, la deviazione accidentale verso sinistra è compensata da una deviazione verso destra, quindi il rullo non esce dai binari.

Questo è un esempio di retroazione negativa.

Figura 6. Retroazione negativa.

 Retroazione positiva

Immaginiamo in questo caso di far rotolare il rullo bi-conico concavo su un binario (vedi fig. 7).

  • Finché esso rotola appoggiato su due punti simmetrici rispetto al centro, A e A’, procede diritto. Infatti le due ruote ideali rotolanti hanno lo stesso diametro.
  • Supponiamo ora che si verifichi una piccola deviazione accidentale, per esempio verso sinistra. In tal caso i punti di appoggio si spostano rispettivamente da A a B e da A’ a B’.
  • In questo modo la ruota di sinistra diventa un po’ più piccola della ruota di destra. Perciò il rullo tenderà a deviare verso sinistra.
  • In conclusione, la deviazione accidentale verso sinistra è amplificata da una ulteriore deviazione verso sinistra, quindi il rullo esce inevitabilmente dai binari.

Questo è un esempio di retroazione positiva.

Figura 7. Retroazione positiva.

La vostra collaborazione

Quando si parla di cose apparentemente semplici ma in realtà complesse, gli errori sono sempre in agguato! Perciò, invito i lettori e i colleghi insegnanti di scienze a segnalarmi gli errori e i passaggi incompleti o poco chiari che avete eventualmente notato in questo articolo. Vi invito anche a segnalarmi nuovi esperimenti, idee e punti di vista che non ho considerato.

Pace e bene a tutti!

Gianfranco Bo ha imparato a scrivere, come tutti i bambini della sua leva, usando un pennino intinto nell’inchiostro. In quei lontani anni ’50 erano tutti accomunati dalla speranza che l’inchiostro nel pennino bastasse almeno per terminare la frase. Poi, frequentando il catechismo, ha iniziato a riflettere su importanti argomenti matematici e scientifici come il cielo, la terra, la vita, la morte, l’infinito e l’eternità. Il resto è stato tutto una conseguenza.
Dal 1978 fa il professore di matematica e scienze nella scuola media (secondaria di 1° grado). Dal 1997 ha pubblicato diversi libri con la casa editrice Paravia, di cui Natura Avventura è il più recente, ed è animatore del sito BASE Cinque – Appunti di Matematica ricreativa. Attualmente, con molta calma, cerca di concludere ciò che ha iniz…

Potete incontrare Gianfranco Bo anche qui.

There are 4 comments. Add Yours.

Valerio —

Esperimento molto interessante.
All’inizio ho pensato fosse la costruzione di una illusione ottica che, se non conoscete, la descrivo velocemente.
I listelli che fanno da binario devono avere una pendenza minima e devono essere divergenti verso l’alto: in pratica gli estremi bassi dei listelli devono essere più vicini tra loro rispetto gli estremi alti.
A questo punto, collocando i due bicchieri convessi nella parte bassa del binario, si ha l’illusione che vadano in salita.
Complimenti ancora per questo bellissimo sito

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    Gianfranco Bo

    Caro Valerio, l’illusione ottica di cui parli è spettacolare e istruttiva. Ne ho visto alcuni esempi addirittura con quattro binari. L’ho inserita tra le cose da fare, magari in una versione semplificata, con due soli binari.
    Pace e bene!

    Reply »

Francesco —

Interessante e semplice da realizzare e comprendere.
Aggiungerei solo qualche parola in più al terzo punto degli elenchi, per spiegare in modo più esplicito perché una differenza di diametro tra le due ruote ideali tende a far deviare il rullo.

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    Gianfranco Bo

    Caro Francesco, grazie per il suggerimento, sono d’accordo con te. Ho messo in programma un breve articolo di geometria proprio sulla domanda: perché una differenza di diametro tra le due ruote tende a far deviare il rullo?
    Pace e bene!

    Reply »

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