Menu

ARCHIVIO

Infiniti criteri di divisibilità

Ci sono situazioni, pratiche e didattiche, nelle quali possiamo dover scomporre numeri naturali. Cominciamo a verificare se 2, 3, 5… sono loro divisori primi. Non è difficile farlo “a mano” (o meglio “a mente”) oppure avvalendoci dei criteri di divisibilità. Le cose si complicano se i più piccoli numeri primi non sono divisori. Lavorare con numeri primi grandicelli è meno agevole. Ecco allora che farebbe comodo avere qualche criterio di divisibilità in più.

Conosciamo tutti il criterio di divisibilità per 3

Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre
è divisibile per 3.

Lasciatemene proporre un’altra formulazione. Per farlo, prendiamo il nostro numero e dividiamolo per 10: chiamiamo d il quoziente (d come “decine”) e u il resto (u come…).

47 = 10 × 4 + 7 57 = 10 × 5 + 72 n = 10 × d + u

Osserviamo che 47 non è divisibile per 3 e che 4 +7 = 11 non è divisibile per 3, mentre 57 è divisibile per 3 e che 5 + 7 = 12 è divisibile per 3.

Ecco allora la nuova formulazione del criterio

Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma del quoziente e del resto nella divisione per 10
è divisibile per 3.

È un po’ più lungo, è un po’ più complesso del criterio classico ma in questa forma ci apre un mondo.

Adesso, in pochi passi saremo capaci di trovare il criterio di divisibilità per ogni numero primo p.

Vediamo perché funziona il nuovo criterio

Se n = 10 × d + u è divisibile per 3, allora anche 10 × d + u + 9 × u è divisibile per 3 (non ho fatto altro che aggiungere un multiplo di 3).

Calcoliamo l’uguaglianza 10 × d + u + 9 × u = 10 × d + 10 × u = 10 × (d + u)

Quand’è che 10 × (d + u) è divisibile per 3? Beh, quando d + u è divisibile per 3. Proprio il nuovo criterio!

Tutto chiaro fin qui? Riassumo quello che abbiamo fatto:

  1. abbiamo preso un numero
  2. gli abbiamo aggiunto 9 volte le sue unità
  3. abbiamo ottenuto il prodotto tra 10 e d + u
  4. poiché 10 non è divisibile per 3, dobbiamo guardare solo la somma d + u
  5. quindi: il numero n è divisibile per 3 se e solo se la somma d + u è divisibile per 3

Teniamo a mente questo schema logico perché ne avremo uno analogo per ciascun numero primo.

Pronti? Via!

Facciamo un’osservazione sui numeri primi. Possiamo dividerli in quattro famiglie a seconda della loro cifra delle unità:

  • P(1) = {11, 31, 41, 61, …}
  • P(3) = {3, 13, 23, 43, …}
  • P(7) = {7, 17, 37, 47, …}
  • P(9) = {19, 29, 59, 79, …}

I numeri di P(1), moltiplicati per 9 hanno come cifra delle unità… 9.
I numeri di P(3), moltiplicati per 3 hanno come cifra delle unità… 9.
I numeri di P(7), moltiplicati per 7 hanno come cifra delle unità… 9.
I numeri di P(9) hanno… già come cifra delle unità 9.

Per ogni numero primo troviamo un multiplo che ha come cifra delle unità 9

Fatta questa osservazione, ricaviamo ad esempio il criterio di divisibilità per 7.
Ripercorriamo per 7 i passi che abbiamo fatto per il “nuovo” criterio di divisibilità per 3:

  1. prendiamo un numero 10 × d + u
  2. aggiungiamogli un multiplo di 7 che finisce per 9, ovvero 49: 10 × d + u + 49 × u
  3. otteniamo 10 × d + 50 × u = 10 × (d + 5 × u)
  4. poiché 10 non è divisibile per 7, dobbiamo guardare solo la somma d  +5 × u

Un numero scritto come 10 × d + u è divisibile per 7 se e solo se d + 5 × u
è divisibile per 7

Verifichiamo che funzioni con due esempi:

532 → 53 +5 × 2 → 63 è divisibile per 7 → 532 è divisibile per 7

449 → 44 + 5 × 9→ 89 non è divisibile per 7 → 449 non è divisibile per 7

Come operiamo con gli altri numeri primi?

Quando un numero 10 × d + u è divisibile per 13?

  1. Prendiamo un numero 10 × d + u
  2. Aggiungiamogli un multiplo di 13 che finisce per 9, ovvero 39: 10 × d + u + 39 × u
  3. Otteniamo 10 × d + 40 × u = 10 × (d + 4 × u)
  4. Poiché 10 non è divisibile per 13, dobbiamo guardare solo la somma d + 4 × u

Un numero scritto come 10 × d + u è divisibile per 13 se e solo se d + 4 × u
è divisibile per 13

Qualche esempio sarà sufficiente per verificare che funzioni.

Quando un numero 10×d+u è divisibile per 19?

  1. Prendiamo un numero 10 × d + u
  2. Aggiungiamogli un multiplo di 29 che finisce per 9, ovvero 29 stesso: 10 × d + u + 29 × u
  3. Otteniamo 10 × d + 30 × u = 10 × (d + 3 × u)
  4. Poiché 10 non è divisibile per 29, dobbiamo guardare solo la somma d + 3 × u

Un numero scritto come 10 × d + u è divisibile per 29 se e solo se d + 3 × u
è divisibile per 29

Adesso dovremmo essere in grado di trovare il criterio di divisibilità per un numero primo a nostra scelta.

Se ci provate, mandatemi i vostri criteri: facciamo tutti assieme una raccolta di… infiniti criteri di divisibilità.

Daniele Gouthier è un matematico e uno scrittore di scienza. Insegna Comunicazione della matematica e della fisica al Master in Comunicazione della Scienza alla Sissa di Trieste, Matematica per il design 1 e 2 al Diploma accademico in Disegno Industriale all’Isia di Pordenone. È autore dei libri di testo Il bello della matematica (Pearson Bruno Mondadori, 2014) e Il bello della matematica+ (Pearson Bruno Mondadori, 2015).

There is 1 comment. Add Yours.

Francesco Stillo —

Con i numeri di tre cifre accade la stessa cosa.
Possiamo considerare le centinaia e le decine come un numero unico.
Ex. 115
11 lo consideriamo non come 1 centinaia e 1 decina, ma come 11 decine.

Proviamo a verificare che un numero (in questo caso 115), sia divisibile per un numero primo di due cifre (usiamo 23)

Per prima cosa calcoliamo il criterio di divisibilita per 23:

10d + u = 10d + u + 69u = 10d + 70u = 10 (d + 7u)

Perché un numero sia divisibile per 23 la somma tra le decine e 7 volte le unità dev’essere un numero divisibile per 23

115 = 11 + (7 × 5) = 11 + 35 = 46

46 ÷ 23 = 2
Abbiamo dimostrato che 115 è divisibile per 23

Reply »

Scrivi un commento!