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A caccia di… un punto notevole!

La discussione che propongo è una traccia interessante per “fare un po’ di matematica” alla fine della seconda media. Possiamo provare a usarla per due o tre ore di discussione in classe. Il meglio è proporre il problema e dedicare una prima ora a fare qualche tentativo raccogliendo i suggerimenti e le congetture dei ragazzi. Quindi invitarli a pensarci a casa e nelle lezioni successive (mentre procediamo con il resto del corso) chiedere loro se hanno fatto passi avanti e quali. Alla fine possiamo usare altre due ore per provare a sviluppare con i ragazzi una discussione che arrivi all’individuazione del punto che risponde alla domanda.

Qualche tempo fa, sulla lista di discussione matematica Cabrinews, Rita Serafini ha lanciato una domanda:

il punto del piano per il quale è minima la somma delle distanze dai lati di un triangolo è un punto “notevole”?

Mumble mumble.

Per cominciare ho cercato di capire quali fossero i termini del problema.
Prima l’ho riformulato un po’: il punto di un triangolo per il quale è minima la somma delle distanze dai lati è un punto “notevole”?
Poi me lo sono visto suddiviso in due sottoproblemi:

  1. come possiamo calcolare la somma delle distanze di un punto di un triangolo dai lati?
  2. per quali punti questa somma ha il minimo valore possibile?

A pensarci è un problema non facile: ho fatto qualche disegno, qualche conto e non ho trovato subito una via – tanto per chiarezza, ci ho messo cinque giorni a formulare una soluzione che mi soddisfacesse e di questi giorni, tre sono passati a rigirarmi in testa un’idea che non sapevo dimostrare. L’idea era: il punto che rende minima la somma delle sue distanze dai lati probabilmente è il vertice opposto al lato maggiore. Mi sembrava ragionevole, ma era solo una congettura, dal momento che non avevo alba di una via per dimostrarla. E senza dimostrazione l’idea lascia un po’ il tempo che trova.

Un primo passo: disegnare il problema

1) Un passo importante è stato, come quasi sempre accade, fare il disegno: perché quando faccio un disegno, devo ragionare su come chiamare gli elementi della figura e questa scelta non è neutrale ma indica alcune vie e ne esclude altre.

La prima scelta che ho fatto è stata quella di ordinare i lati dal maggiore al minore: a bc.
In questo modo le altezze relative ai lati sono ordinate dalla minore alla maggiore: infatti i prodotti ah, bk, cl sono tutti uguali ed esprimono il doppio dell’area del triangolo.

Disegno di un triangolo con alcuni elementi geometrici in evidenza

Clicca sull'immagine per scaricarne una versione più grande.

In figura ho poi segnato:

  • un punto P con le sue tre distanze dai lati (x, y e z)
  • l’altezza h relativa al lato maggiore a
  • la retta DE parallela al lato a

Mi è sembrato utile esplicitare la misura tb del lato AD, dove t è un numero compreso tra 0 e 1: quando t = 0, la parallela passa per il vertice A; quando t = 1, la parallela contiene il lato a.

Come esprimere l’area del triangolo

2) L’area del triangolo può essere espressa in un modo interessante ricorrendo al punto P interno al triangolo. Infatti possiamo suddividere ABC nei triangoli APC, BPC e APC. Allora l’area di tutto il triangolo è la somma delle loro tre aree.

Per non dovermi portare dietro un “fratto 2” che non cambia la natura delle cose, qui scrivo l’uguaglianza tra le due espressioni del doppio dell’area.

ax + by + cz = ah

Se sostituisco a b e a c il valore a trovo una disuguaglianza sempre vera.

ax + ay + azah
x + y + zh

Ho quindi un primo risultato.

Comunque prendo un punto P del triangolo, la somma delle sue distanze dai lati è maggiore dell’altezza relativa al lato maggiore (che è la minore delle tre altezze).

Inoltre, c’è almeno un punto per cui la somma delle distanze è esattamente h: è il vertice A.

Similitudini fra triangoli

3) Ora mi sono concentrato sul triangolo AED che è simile ad ABC in un’omotetia di centro A e rapporto t. Dunque il doppio della sua area può essere espresso come t2ah.

D’altra parte AED si suddivide nei due triangoli APD e APE. Quindi il doppio della sua area è anche tby + tcz.

Poiché le due espressioni sono vere abbiamo la seguente uguaglianza:

by + cz = tah

Tutto questo grazie alla similitudine dei due triangoli. Osserviamo anche che la similitudine lega x e h: x = (1 – t)h.

Facciamo un passo in avanti…

4) Ora ho supposto che P fosse un punto per il quale la somma delle distanze vale proprio h:

x + y + z = h

Quindi y + z = h – x = h – (1 – t)h

y + z = th

Moltiplico questa uguaglianza una volta per b e una volta per c e la collego all’uguaglianza by + cz = tah:

 

 

E faccio le due sottrazioni:

(cb)z = t(ab)h               (bc)y = t(ac)h

Notiamo che le differenze nelle parentesi sono tutte positive tranne una: cb ≤ 0.

Siamo pronti per concludere

5) E adesso siamo pronti per concludere: ci basta analizzare che cosa succede alle due uguaglianze nei vari casi possibili.

a = b = c, il triangolo è equilatero. Le due uguaglianze sono vere per ogni t, per ogni y e ogni z.

In un triangolo equilatero, ogni punto ha somma delle distanze dei lati uguale all’altezza del triangolo, cioè minima.

a = b > c, il triangolo è isoscele acutangolo. La prima uguaglianza diventa (c b)z=0 e quindi deve essere z = 0. Il che significa che P è uno qualsiasi dei punti della base c.

In un triangolo isoscele acutangolo, ogni punto della base ha somma delle distanze dei lati uguale all’altezza del triangolo, cioè minima.

a > b = c, il triangolo è isoscele ottusangolo. Le due uguaglianze sono vere solo se t = 0, ovvero per P = A.

In un triangolo isoscele ottusangolo, il vertice opposto alla base è l’unico punto la cui somma delle distanze dei lati è uguale all’altezza del triangolo, cioè minima.

a > b > c, il triangolo è ottusangolo. La prima uguaglianza ha un membro minore uguale a zero e l’altro maggiore o uguale a zero. Per essere vera devono essere t = 0 e z = 0. Il valore t = 0 inserito nella seconda ci dà anche y = 0.

In un triangolo scaleno, il vertice opposto alla base è l’unico punto la cui somma delle distanze dei lati è uguale all’altezza del triangolo, cioè minima.

L’immagine di copertina è Colorful Dramatic Triangles, Fotoluminate LLC/Shutterstock

Daniele Gouthier è un matematico e uno scrittore di scienza. Insegna Comunicazione della matematica e della fisica al Master in Comunicazione della Scienza alla Sissa di Trieste, Matematica per il design 1 e 2 al Diploma accademico in Disegno Industriale all’Isia di Pordenone. È autore dei libri di testo Il bello della matematica (Pearson Bruno Mondadori, 2014) e Il bello della matematica+ (Pearson Bruno Mondadori, 2015).

 

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