Menu

ARCHIVIO

Circonferenza, cerchio e pi greco [speciale Pi Day]

Tutti i cerchi sono simili tra loro: basta traslare i centri in modo che coincidano e poi con un’omotetia un cerchio si sovrappone all’altro.
Per similitudine, il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il raggio è costante:

 

E per lo stesso motivo è costante il rapporto tra l’area del cerchio e il quadrato del raggio:

 

Come sono legate queste due costanti?

Ora dimostreremo che queste costanti non sono qualsiasi, ma sono legate tra loro da una relazione elementare: l’una è il doppio dell’altra.

Il primo passo è dare una definizione: chiamiamo la prima delle due costanti. Ovvero scriviamo:

Attenzione! Non abbiamo fatto altro che dare un nome a una delle due costanti. Abbiamo chiamato π la metà del rapporto tra circonferenza e raggio, ovvero il rapporto tra circonferenza e diametro.

Cerchi e poligoni regolari

Prima di spostare la nostra attenzione sull’area del cerchio e sulla costante che la lega al quadrato del raggio, ricordiamoci un fatto generale valido per tutti i poligoni regolari: il raggio di un poligono regolare è il raggio r del cerchio inscritto. L’area di un poligono regolare è, sempre, il prodotto tra il semiperimetro, p, e questo raggio.

Se indichiamo con 2pn il perimetro e con An l’area dell’n-agono regolare e con r il raggio del cerchio inscritto, la relazione che li lega è An = pnr.

Adesso scegliamo un particolare cerchio, quello di raggio 1, r = 1. Allora per tutti i poligoni regolari a esso circoscritti abbiamo che il valore dell’area è lo stesso di quello del semiperimetro An = pn.
Mano a mano che aumenta il numero di lati n, il perimetro 2pn approssima sempre meglio la lunghezza della circonferenza C, e l’area An approssima sempre meglio quella del cerchio A.
Allora l’area del cerchio di raggio 1 ha lo stesso valore della semicirconferenza. E quindi:

E con questo abbiamo mostrato che la relazione tra le due costanti:

 

Torna alla copertina dello Speciale Pi Day

Daniele Gouthier è un matematico e uno scrittore di scienza. Insegna Comunicazione della matematica e della fisica al Master in Comunicazione della Scienza alla Sissa di Trieste, Matematica per il design 1 e 2 al Diploma accademico in Disegno Industriale all’Isia di Pordenone. È autore dei libri di testo Il bello della matematica (Pearson Bruno Mondadori, 2014) e Il bello della matematica+ (Pearson Bruno Mondadori, 2015).

Scrivi un commento!