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La carta d’identità di Pi greco [speciale Pi Day]

Un numero che non finisce mai

Il π, ovvero pi greco, inizia così: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679… e non finisce mai.
È un numero decimale, illimitato e non periodico. Quindi è irrazionale (a dire il vero è anche trascendente ma non è detto che in queste poche righe dobbiamo capire anche questo).
Decimale significa che “si scrive con la virgola”. Illimitato vuol dire che non finisce mai. Periodici sono quei numeri che, non finendo mai, hanno dei blocchi di cifre che si ripetono sempre uguali.

Pi greco non è periodico: ogni cifra è una sorpresa.

Attenzione! Ci sono numeri decimali non periodici che sono molto meno sorprendenti. Facciamo solo due esempi:

  • 1,234567891011121314151617181920…
  • 0,100100010000100000100…

Pi greco è di tutt’altra pasta: se guardiamo un primo tratto della sua parte decimale non siamo in grado di capire che cosa succederà dopo.
E poi ha un’altra sorprendente proprietà: pensate un numero, qualsiasi, lungo tanto quanto volete. Ebbene questo numero da qualche parte nello sviluppo decimale di pi greco c’è. Badate, quando dico qualsiasi, intendo qualsiasi. Potrebbe sembrarvi strano ma ad esempio 1 seguito da un miliardo di 0 nello sviluppo decimale di pi greco c’è.
Nella storia della matematica, sono state trovate molte espressioni per scrivere pi greco.
Se moltiplicate per 4 la somma a segni alterni:

ottenete un’approssimazione di pi greco.

Lo stesso succede moltiplicando per 8:

 

O anche aggiungendo 3 a:

 

Mentre il prodotto:


è proprio pi greco.

Perché ci sono i puntini di sospensione?

Le espressioni che abbiamo presentato qui sopra si concludono tutte con dei puntini di sospensione: questo sta a significare che l’espressione esatta è formata da infinite operazioni. Se ci fermiamo a un certo punto quella che otteniamo è una, più o meno buona, approssimazione di pi greco.
Tutto ciò però non è così utile dal punto di vista pratico. Normalmente, per gli scopi quotidiani, confondiamo pi greco con il suo troncamento alla seconda cifra decimale: 3,14. Ci accontentiamo cioè di un’approssimazione corretta al 99,94930%: molto buona.
Però con un poca fatica in più possiamo fare molto meglio: la radice quadrata di 9,87 è una sua approssimazione al 99,998%.
E la somma √(2/10) + 3 dà un’approssimazione esatta addirittura al 99,99455%.
A volte un piccolo sforzo può dare grandi risultati!

Perché pi greco è trascendente?

Prima di chiudere con le espressioni di pi greco, torniamo sull’aggettivo “trascendente”. Che cosa significa?
Significa esattamente che se vogliamo scrivere pi greco come un’espressione algebrica di numeri razionali… non possiamo farlo. Non bastano addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, elevamenti a potenza ed estrazioni di radice per descrivere esattamente pi greco.
Tutto quello che possiamo ottenere sono, come qui sopra, delle buone approssimazioni.
Se vogliamo usare le operazioni elementari e ottenere un’espressione esatta di pi greco con i soli numeri naturali, ebbene, dobbiamo rassegnarci a fare infinite operazioni!

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Daniele Gouthier è un matematico e uno scrittore di scienza. Insegna Comunicazione della matematica e della fisica al Master in Comunicazione della Scienza alla Sissa di Trieste, Matematica per il design 1 e 2 al Diploma accademico in Disegno Industriale all’Isia di Pordenone. È autore dei libri di testo Il bello della matematica (Pearson Bruno Mondadori, 2014) e Il bello della matematica+ (Pearson Bruno Mondadori, 2015).

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