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La prova del 9 e le sue sorelle

Ci sono fatti elementari, in matematica, che a ben guardare nascondono tesori inaspettati: e questa è una bella lezione per la vita, non solo per la matematica.
La prova del 9 ne è un esempio.
Tutti sappiamo come funziona…

A fianco della moltiplicazione ne scriviamo un’altra nella quale i fattori sono le somme delle cifre dei fattori: 8 al posto di 53 e 3 al posto di 48 (a dire il vero 4+8 è 12, ma a sua volta 1+2 è 3 e andiamo avanti esattamente fino a quando otteniamo numeri di una sola cifra).

Calcoliamo questa “moltiplicazione di prova” e otteniamo come prodotto 24, la cui somma delle cifre è 6. Ora calcoliamo la somma delle cifre del prodotto 2544, 2 + 5 + 4 + 4 = 6.

Se otteniamo, come in questo esempio, lo stesso numero finale, possiamo sperare che la moltiplicazione sia giusta.

Possiamo sperare? Vorrai dire sappiamo… no! Non lo sappiamo, quella che abbiamo è solo una ragionevole speranza. Se ad esempio avessimo invertito due cifre del prodotto scrivendo, per dire 2454, avremmo un risultato sbagliato che dà ugualmente 6.
Oppure potremmo aver sbagliato una cifra in eccesso e una in difetto, ad esempio 3554 che è un altro risultato sbagliato che dà ugualmente 6.

Primo fatto interessante

Se la prova del 9 è sbagliata, la moltiplicazione è sbagliata. Ma se la prova del 9 è giusta, non è detto che la moltiplicazione sia giusta. (Naturalmente ci sarebbe anche il caso di un errore nella moltiplicazione di prova, per esempio 3×8=32 e 3+2=5, ma escludiamo questi errori perché i calcoli nella prova sono molto più semplici di quelli nella moltiplicazione).

I matematici dicono che la prova del 9 è una condizione necessaria ma non sufficiente.

La prova del 9 è soltanto un test della correttezza della moltiplicazione e come tutti i test non viene superato solo dalle moltiplicazioni corrette, viene superato anche da qualche “falso positivo”. Possiamo usare la prova del 9 come un esempio elementare per parlare, in scienze, del concetto di “falso positivo”: è un collegamento interdisciplinare che apre orizzonti interessanti.

Secondo fatto interessante

La prova del 9 funziona anche per le altre operazioni. Vediamolo ad esempio su un’addizione, replicando quanto abbiamo fatto per la moltiplicazione.

Non c’è differenza tra un’operazione e l’altra: la prova continua a funzionare, esattamente come per la moltiplicazione. Naturalmente, come per la moltiplicazione “se la prova è sbagliata, l’operazione è sbagliata” mentre se è giusta non si può dire.

Tra tutte le operazioni, la divisione è quella meno immediata perché oltre al quoziente produce anche un resto. Attenzione, dobbiamo fare i calcoli nella divisione di prova senza dimenticarcelo.

 

Terzo fatto interessante

Perché la prova del 9 funziona? Ovvero, perché sostituiamo ai termini di un’operazione le somme delle loro cifre? Che relazione c’è tra 53 e 8? E tra 48 e 3?

Possiamo verificare che 8 e 3 sono i resti di 53 e di 48 nella divisione per 9:

53 : 9 = 5      R = 8
48 : 9 = 5      R = 3

Allora, la prova del 9 non è altro che la stessa operazione che stiamo facendo calcolata soltanto sui resti nella divisione per 9. I matematici dicono che stiamo facendo i calcoli in una congruenza modulo 9. Questo passaggio semplifica i calcoli, perché lavoriamo soltanto con i resti e non più con i numeri “tutti interi”.

Quarto fatto interessante…

…che qui mostriamo solo per la moltiplicazione, ma che potete facilmente verificare per ogni operazione. Possiamo verificare la correttezza di una moltiplicazione facendo la prova del 5 (o di un numero a piacere). Come funziona? Dobbiamo calcolare la moltiplicazione di prova nella quale al posto dei fattori mettiamo i loro resti nella divisione per 5 (o per il numero che abbiamo scelto a piacere).

53 : 5 = 10      R = 3
48 : 5 = 9       R = 3

Questo perché 2544 : 5 = 508  R = 4  e  9 : 5 = 1  R = 4.

Riassumendo

  1. La prova del 9 non funziona “per magia” ma perché i numeri che sostituiamo ai fattori sono i resti nella divisione per 9.
  2. Possiamo fare la prova del 5 (o di qualsiasi altro numero) utilizzando i resti nella divisione per 5.
  3. La prova del 9 (o del 5 o del…) funziona per tutte e quattro le operazioni elementari.
  4. Se la prova è sbagliata, l’operazione è sbagliata.
  5. Se la prova è giusta, non possiamo dire che l’operazione è giusta.

Visto quante cose si nascondono dietro la “elementare” prova del 9?

 

Daniele Gouthier è un matematico e uno scrittore di scienza. Insegna Comunicazione della matematica e della fisica al Master in Comunicazione della Scienza alla Sissa di Trieste, Matematica per il design 1 e 2 al Diploma accademico in Disegno Industriale all’Isia di Pordenone. È autore dei libri di testo Il bello della matematica (Pearson Bruno Mondadori, 2014) e Il bello della matematica+ (Pearson Bruno Mondadori, 2015).

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