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Pi greco: oltre 25 secoli di storia [speciale Pi Day]

Da millenni l’uomo ha osservato che al crescere del raggio, la circonferenza cresce in proporzione. E che quindi c’era una costante che li legava: pi greco. Naturalmente saranno state fatte molte sperimentazioni con cerchi e corde. Ma questo non bastava… c’era la curiosità di capire quanto valesse veramente pi greco.

Egizi e Babilonesi

Nel papiro di Rhind, lo scriba Ahmes, 1650 a. C., attribuisce a pi greco il valore (16/9)2, ma questa stima, per altro esatta a meno dell’1%, non ebbe gran diffusione: mille anni dopo abbiamo ancora testimonianza che Babilonesi ed Ebrei usavano come valore di pi greco il numero 3, che è il valore che troviamo anche nell’Antico Testamento.

Il ruolo dei Greci

Nel IV secolo a. C., i Greci diedero un’importante accelerazione allo studio del “loro” pi: iniziarono ad analizzare l’area dei poligoni regolari inscritti e di quelli circoscritti e a calcolarne il rapporto con quella del cerchio. È un cambiamento radicale. Non basta più sperimentare – con oggetti fisici o con la mente – ora si passa a pensare in modo razionale – con quelle che presto saranno vere e proprie dimostrazioni.
Su questa via, il contributo più significativo avvenne due secoli dopo, con Archimede che propose ragionamenti analoghi lavorando con i perimetri invece che con le aree.
Passano ancora cent’anni e Tolomeo (quello del sistema tolemaico, per intenderci) propone una stima esatta a meno dello 0,003%: fissa il valore di pi greco in 3 + (8/60) + (30/3600).

Attenzione! Anche se le conoscenze matematiche avanzavano, nei secoli per gli scopi pratici, c’è chi si è accontentato di valori meno esatti ma più comodi per i calcoli: nel IV secolo d. C. abbiamo documenti che attestano che i Romani usassero come valore 3+ (1/8).

Nel frattempo, in Cina e in India…

Nel frattempo, in Cina, prende piede un’espressione non esattissima ma molto diversa. Dal II secolo d. C., il valore di pi greco che si diffonde è √10, non precisissimo ma piuttosto facile da ricordare. La strada di cercare un’espressione che fosse una radice quadrata venne battuta in modo particolarmente felice dai matematici indiani: Aryabatha e Brahamagupta migliorarono sempre di più il dato cinese, con radici di decimali di 9, meno facili da ricordare ma, dimostrazione dopo dimostrazione, sempre più esatti.

Dagli Arabi a Fibonacci

Nel IX secolo, ecco a voi i matematici arabi (i quali, tre secoli dopo, influenzarono moltissimo il pensiero e l’opera del nostro Leonardo Pisano, detto il Fibonacci). È con loro che fa la sua comparsa in Occidente lo 0 e che le notazioni per i numeri divengono più simili a quelle moderne. E, si sa, scrivere bene vuol dire pensare bene: così in quei secoli le approssimazioni andarono migliorando.
Attenzione! Nelle righe precedenti ho scritto spesso “approssimazione”: l’idea che quelle espressioni approssimassero il valore esatto di pi greco non era però di tutti quei matematici. I greci capirono che pi greco non era un numero razionale e che con le frazioni potevano solo accontentarsi di un’approssimazione. Molti altri matematici – ad esempio quanti trovarono espressioni con le radici – pensavano di poter averne il valore esatto. Si sbagliavano.
Torniamo a Fibonacci: nel 1220 propose il valore 864/275. Gli costò un grande sforzo ma, in definitiva, fu un miglioramento solo 0,0001 più preciso del dato di Archimede.

L’età moderna

Fu il francese François Viète, alla fine del Sedicesimo secolo, a cambiare totalmente approccio e a iniziare a proporre, per descrivere pi greco, espressioni che fossero prodotti infiniti: in nuce comincia a emergere l’idea che pi greco sia un numero trascendente, cioè non esprimibile con una quantità finita di operazioni elementari che coinvolgano solo numeri razionali.

Più o meno in contemporanea il tedesco Ludolph van Ceulen tornò sullo stesso metodo di Archimede, solo che riuscì ad applicarlo a poligono con più di 32 miliardi di lati: questo sforzo enorme gli fece conoscere le prime 35 cifre dello sviluppo decimale di pi greco!

Oggi…

I tre secoli che ci separano da Viète e van Ceulen sono stati i più fertili, felici e tumultuosi della storia del pensiero matematico. Pi greco non è stato immune da questo scoppiettante fuoco d’artificio di idee e intuizioni. Oggi ne conosciamo oltre 2.000.000.000.000.000 di cifre. Ma soprattutto dal 1882 abbiamo la dimostrazione di un altro tedesco, il matematico Ferdinand von Lindemann, che prova che pi greco è un numero trascendente.
Oggi l’indagine per trovare nuove cifre di pi greco e per studiarne le “regolarità” è uno dei campi su cui si testa la potenza e l’efficienza dei supercalcolatori. E molto c’è ancora da capire di queste regolarità.

Non sono molti i concetti noti all’uomo che sono studiati con profitto da oltre venticinque secoli. Non sono molti i problemi noti agli antichi che sono ancora oggi stimolanti e fertili. Pi greco lo è.

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Daniele Gouthier è un matematico e uno scrittore di scienza. Insegna Comunicazione della matematica e della fisica al Master in Comunicazione della Scienza alla Sissa di Trieste, Matematica per il design 1 e 2 al Diploma accademico in Disegno Industriale all’Isia di Pordenone. È autore dei libri di testo Il bello della matematica (Pearson Bruno Mondadori, 2014) e Il bello della matematica+ (Pearson Bruno Mondadori, 2015).

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