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Tagliare una torta in parti uguali

 

Una torta, si sa, è uno strumento matematico. Basta volerla tagliare ed è subito… frazione.
Certamente ci sono situazioni nelle quali vogliamo tagliarla in due fette uguali.

Possiamo farlo così:

Oppure così:

Uguali? In che senso uguali?

La prima torta è divisa in due parti che hanno la stessa area – equivalenti – e lo stesso perimetro – equiperimetriche.

La seconda torta è divisa in due fette con la stessa area ma con perimetri diversi; per i più pigri posso dire che il raggio interno è dato da R:√2.
(Fino a qui e nel seguito parliamo di “area della torta” riferendoci alla superficie superiore, alla base se la vediamo come un solido. Non è proprio preciso, ma per gli scopi che ci prefiguriamo va bene così).

Tagli con determinate caratteristiche

Adesso cerchiamo solo suddivisioni di una torta in fette che hanno la stessa area e lo stesso perimetro.
In più vogliamo anche un perimetro lungo quanto… la circonferenza della torta.

È possibile dividere una torta in due fette, ciascuna delle quali con la stessa area e con il perimetro lungo quanto la circonferenza?

Concentriamoci sul perimetro e facciamo un’osservazione.
Dividiamo un diametro in alcune parti e su ciascuna costruiamo una semicirconferenza.

Quanto vale la somma di tutte queste semicirconferenze? Ciascuna semicirconferenza è proporzionale al proprio diametro, quindi la loro somma è proporzionale alla somma dei loro diametri, cioè al diametro della torta.
Dunque la somma delle semicirconferenze è proprio lunga quanto la semicirconferenza della torta.
Detto altrimenti: questa divisione della torta produce due fette che hanno lo stesso perimetro, e il perimetro è uguale alla circonferenza di tutta la torta.

Ci stiamo incamminando sulla strada della soluzione…

Ora possiamo riformulare la domanda…

Se su un diametro costruiamo alcune semicirconferenze, riusciamo a dividere la torta in due parti con la stessa area?

Il segreto è mettere le semicirconferenze un po’ da una parte e un po’ dall’altra del diametro in modo che si compensino. Il caso più semplice è questo: dividiamo il diametro in due e su ciascun raggio costruiamo una semicirconferenza, ciascuna da una delle due parti del diametro.

Le due fette hanno la stessa area e perimetro uguale alla circonferenza della torta.

E se intorno alla tavola non siamo in 2 ma in n?

È possibile tagliare una torta in n fette tutte con la stessa area e tutte con perimetro uguale alla circonferenza della torta? La risposta è ancora sì!
Ecco come.
Dividiamo il diametro in n parti uguali e disegniamo, sopra e sotto il diametro, tutte le semicirconferenze che hanno un estremo in comune con la circonferenza. Otteniamo questa figura.

Ebbene, tutte queste fette hanno la stessa area e perimetro uguale alla circonferenza.

Calcolare il perimetro non è difficile: due semicirconferenze, una superiore e una inferiore, che hanno un estremo comune, hanno come somma dei diametri il diametro della torta. Quindi assieme misurano quanto una semicirconferenza. E siamo a posto.

E le aree? Sono anche loro tutte uguali. Proviamo a calcolare l’area colorata in nero.

Sopra abbiamo la differenza tra il semicerchio di raggio (k+1)/n e quello di raggio k/n.
Sotto abbiamo la differenza tra il semicerchio di raggio (1-k/n) e quello di raggio (1-(k+1)/n).

Allora l’area nera vale:

Lasciamo i calcoli per… esercizio e diamo solo il risultato. L’area vale:

Il ragionamento che abbiamo fatto vale per tutte le fette che quindi hanno la stessa area e perimetro uguale alla circonferenza della torta.

[Credits immagine di apertura © Monkey Business Images]

Daniele Gouthier è un matematico e uno scrittore di scienza. Insegna Comunicazione della matematica e della fisica al Master in Comunicazione della Scienza alla Sissa di Trieste, Matematica per il design 1 e 2 al Diploma accademico in Disegno Industriale all’Isia di Pordenone. È autore dei libri di testo Il bello della matematica (Pearson Bruno Mondadori, 2014) e Il bello della matematica+ (Pearson Bruno Mondadori, 2015).

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